Matemática discreta Ejemplos

$12 x + 5 y = 9$ , $3 x - 8 y = - 18$

Paso 1

Resuelve $x$ en $12 x + 5 y = 9$ .

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Paso 1.1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x = 9 - 5 y$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2

Divide cada término en $12 x = 9 - 5 y$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $12 x = 9 - 5 y$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $9$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{3 (3)}{12} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{4} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{- 5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 8 y = - 18$ por $\frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$ .

$3 (\frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}) - 8 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{3}{4}) + 3 (- \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{3}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4} + 3 (- \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 (- \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + 3 (- \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 y}{12}$ al numerador.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{- 5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{- 5 y}{3 (4)}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{- 5 y}{3 \cdot 4}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{4} + \frac{- 5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{- 5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{4} - \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} - \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 8 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{5 y}{4} - 8 y \cdot \frac{4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 8 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{5 y}{4} + \frac{- 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{4} + \frac{- 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 - 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{9 - 5 y - 32 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.7

Resta $32 y$ de $- 5 y$ .

$\frac{9 - 37 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 - 37 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 - 37 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 - 37 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{9 - 37 y}{4} = - 18$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{9 - 37 y}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{9 - 37 y}{4} \cdot 4$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 - 37 y}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$9 - 37 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$9 - 37 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $9$ y $- 37 y$ .

$- 37 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$- 37 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$- 37 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$- 37 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$- 37 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$- 37 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 37 y = - 72 - 9$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.1.2

Resta $9$ de $- 72$ .

$- 37 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$- 37 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 37 y = - 81$ por $- 37$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 37 y = - 81$ por $- 37$ .

$\frac{- 37 y}{- 37} = \frac{- 81}{- 37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 37$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 37 y}{- 37} = \frac{- 81}{- 37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 81}{- 37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{81}{37}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{3}{4} - \frac{5 y}{12}$ por $\frac{81}{37}$ .

$x = \frac{3}{4} - \frac{5 (\frac{81}{37})}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} - \frac{5 (\frac{81}{37})}{12}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $5$ y $\frac{81}{37}$ .

$x = \frac{3}{4} - \frac{\frac{5 \cdot 81}{37}}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $81$ .

$x = \frac{3}{4} - \frac{\frac{405}{37}}{12}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3}{4} - (\frac{405}{37} \cdot \frac{1}{12})$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Factoriza $3$ de $405$ .

$x = \frac{3}{4} - (\frac{3 (135)}{37} \cdot \frac{1}{12})$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 135}{37} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4})$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 135}{37} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4})$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{4} - (\frac{135}{37} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - (\frac{135}{37} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.5

Multiplica $\frac{135}{37}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3}{4} - \frac{135}{37 \cdot 4}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.1.6

Multiplica $37$ por $4$ .

$x = \frac{3}{4} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $\frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{37}{37}$ .

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{37}{37} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $148$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{37}{37}$ .

$x = \frac{3 \cdot 37}{4 \cdot 37} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $37$ .

$x = \frac{3 \cdot 37}{148} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{3 \cdot 37}{148} - \frac{135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 \cdot 37 - 135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $3$ por $37$ .

$x = \frac{111 - 135}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.5.2

Resta $135$ de $111$ .

$x = \frac{- 24}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{- 24}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $- 24$ y $148$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$x = \frac{4 (- 6)}{148}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $148$ .

$x = \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 37}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 37}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{- 6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = \frac{- 6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = - \frac{6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = - \frac{6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

$x = - \frac{6}{37}$

$y = \frac{81}{37}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{6}{37}, \frac{81}{37})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{6}{37}, \frac{81}{37})$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{6}{37}, y = \frac{81}{37}$

Paso 7